Угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s

=

{l

;

m

;

n}

и уравнение плоскости A

x

+ B

y

+ C

z

+ D = 0, то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =	| A · l + B · m + C · n |
	√ A2 + B2 + C2 · √ l 2 + m 2 + n 2

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

= ; ;

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

= {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ =	| q · s |
	| s | · | q |

Так как

= 90° - , то синус угла между прямой и плоскостью = .

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью