O-Math.com
Математический образовательный портал.
"Математика это просто!" - посетите наш сайт и убедитесь в этом.
Онлайн калькуляторыСправочникТаблицы и формулы
  • Калькуляторы
  • Справочник

Угол между прямой и плоскостью.

Нравится
Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость


Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

s
=
{l
;
m
;
n}
и уравнение плоскости
A
x
+ B
y
+ C
z
+ D = 0,
то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ
| A ·
l
+ B ·
m
+ C ·
n
|
A2 + B2 + C2
· √
l
2 +
m
2 +
n
2

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

s
=
{l
;
m
;
n}

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

q
= {A; B; C}

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ
|
q
·
s
|
|
s
| · |
q
|

Так как

φ
= 90° -
ψ
, то синус угла между прямой и плоскостью
sin φ
=
cos ψ
.

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.


Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Пример. Найти угол между прямой

x
- 4
 = 
y
+ 2
 = - 
z
- 6
2 6 3
и плоскостью
x
- 2
y
+ 3
z
+ 4 = 0.

Решение.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

s
= {2; 6; -3}

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

q
= {1; -2; 3}

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ
| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 |  =
22 + 62 + (-3)2
· √
12 + (-2)2 + 32
sin φ
| 2 - 12 - 9 |  =  19  =  19
4 + 36 + 9
· √
1 + 4 + 9
49
· √
14
7√
14
Ответ: 
sin φ
19
7√
14





Нравится

Добавить комментарий



© 2013-2018 Довжик Михаил
Копирование материала запрещено.
СЕРВИСЫ

  Онлайн калькуляторы
  Справочник
  Таблицы и формулы
O-Math.com

  О проекте
  Помочь сайту
  support@o-math.com