O-Math.com
Математический образовательный портал.
"Математика это просто!" - посетите наш сайт и убедитесь в этом.
Онлайн калькуляторыСправочникТаблицы и формулы
  • Калькуляторы
  • Справочник

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Нравится
Расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если

s
=
{m
;
n
;
p}
- направляющий вектор прямой
l
, M1(
x
1,
y
1,
z
1) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M0(
x
0,
y
0,
z
0) до прямой
l
можно найти, используя формулу


d
|
M0M1
×
s
|
|
s
|

Вывод формулы
Если задано уравнение прямой

l
то несложно найти
s
=
{m
;
n
;
p}
- направляющий вектор прямой и M1(
x
1,
y
1,
z
1) - координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах
S = |
M0M1
×
s
|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне
S = |
s
|
d
.

В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости
d
, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора
s
.
Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.



Пример. Найти расстояние между точкой M(0, 2, 3) и прямой

x
- 3
 = 
y
- 1
 = 
z
+ 1
2 1 2

Решение.
Из уравнения прямой получим

s
=
{
2; 1; 2
}
- направляющий вектор прямой;
M1(3; 1; -1) - точка лежащая на прямой.


Тогда

M0M1
=
{
3 - 0; 1 - 2; -1 - 3
}
=
{
3; -1; -4
}


M0M1
×
s
i
j
k
 = 
  3    -1    -4  
  2    1    2  

=
i
((-1)·2 - (-4)·1) -
j
(3·2 - (-4)·2) +
k
(3·1 -(-1)·2) =
{
2; -14; 5
}


d
|
M0M1
×
s
|
 =  (22 + (-14)2 + 52)1/2  =  2251/2  = 5
|
s
|
(22 + 12 + 22)1/2 91/2

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 5.





Нравится

Добавить комментарий



© 2013-2018 Довжик Михаил
Копирование материала запрещено.
СЕРВИСЫ

  Онлайн калькуляторы
  Справочник
  Таблицы и формулы
O-Math.com

  О проекте
  Помочь сайту
  support@o-math.com